‌‌Ο γρίφος της ημέρας - Το παράνομο αποστακτήριο

Ο μπάρμπα Μήτσος έχει φτιάξει στο σπίτι ένα παράνομο αποστακτήριο και φτιάχνει τσίπουρο. Λίγο πριν τις διακ...

Ο μπάρμπα Μήτσος έχει φτιάξει στο σπίτι ένα παράνομο αποστακτήριο και φτιάχνει τσίπουρο. Λίγο πριν τις διακοπές των Χριστουγέννων έχει προλάβει να εμφιαλώσει 12 μεγάλα και 12 μικρά μπουκάλια. Βέβαια έχει προλάβει επίσης να καταναλώσει 5 από τα μικρά και 5 από τα μεγάλα.

Θέλει τώρα να μοιράσει στους τρεις φίλους του την παραγωγή του, έτσι ώστε να πάρει ο καθένας τους την ίδια ποσότητα ποτού και επίσης των ίδιο αριθμό μεγάλων και μικρών μπουκαλιών (γεμάτων ή άδειων). Επειδή ο μπάρμπα Μήτσος είναι λιγάκι πιωμένος, του είναι λίγο δύσκολο να βρει μια λύση.

Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Σε όγκο, 2 μικρά μπουκάλια χωράν όσο ένα μεγάλο. Αυτό βέβαια ισχύει για το περιεχόμενο. Σαν “δοχεία” 2 μικρά δεν είναι ισάξια ενός μεγάλου.
Δεν επιτρέπονται μεταγγίσεις ανάμεσα στα μπουκάλια, τα οποία θεωρούνται σφραγισμένα

Λύση του χθεσινού γρίφου: Τα αυγά της Αφρούλας

Τα ελάχιστα αυγά που μπορεί να είχε αρχικά η Αφρούλα ήταν 719 όταν πήγε στη Λαϊκή για να τα πουλήσει. Έστω «χ» το αρχικό πλήθος των αυγών. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:

(α) Στον πρώτο πούλησε:
χ/2+1/2= (χ+1)/2 αυγά (1)
Κι’ έμειναν υπόλοιπο:
χ-(χ+1)/2=(2χ-χ-1)/2=(χ-1)/2 αυγά. (1a)

(β) Στον δεύτερο πούλησε:
(1/3)(χ-1)/2+1/3=(χ-1)/6+1/3=(χ-1+2)/6=(χ+1)/6 αυγά (2)
Κι’ έμειναν υπόλοιπο:
(χ-1)/2-(χ+1)/6=[3*(χ-1)-(χ+1]/6=(3χ-3-χ-1)/6=(2χ-4)/6=2*(χ-2)/6=(χ-2)/3αυγά. (2b)

(γ) Στον τρίτο πούλησε:
(1/4)*(χ-2)/3+1/4=(χ-2)/12+1/4=(χ-2+3)/12=(χ+1)/12 αυγά (3)
Κι’ έμειναν υπόλοιπο:
(χ-2)/3-(χ+1)/12=[4*(χ-2)-(χ+1)/12=(4χ-8-χ-1)/12=(3χ-9)/12=3*(χ-3)/12=(χ-3)/4 αυγά. (3c)

(δ) Στον τέταρτο πούλησε:
(1/5)*(χ-3)/4+1/5=(χ-3)/20+1/5=(χ-3+4)/20=(χ+1)/20 αυγά (4)
Κι’ έμειναν υπόλοιπο:
(χ-3)/4-(χ+1)/20=[5*(χ-3)-(χ+1)]/20=(5χ-15-χ-1)/20=(4χ-16)/20=4*(χ-4)/20=(χ-4)/5 αυγά. (4d)

(ε) Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, μετά τη πώληση των αυγών της έμειναν ένας αριθμός αυγών, τα οποία μοίρασε εξίσου σε 13 συγγενείς, έχουμε την εξίσωση:
(χ-4)/5=13κ --> χ-4=5*13κ --> χ-4=65κ --> χ=65κ+4 (5)
«κ», ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του 1, που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αυγών που πήρε κάθε συγγενής.

Διερεύνηση με Διαιρετότητα:
(α) Από την πρώτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν αρχικά: (χ+1)/2=(65κ+4+1)/2=(65κ+5)/2=5(13κ+1)/2 αυγά
Άρα το (13κ+1) είναι άρτιος αριθμός (αρκεί να θυμηθούμε ότι δεν έσπασε κανένα αυγό), οπότε «κ» είναι σίγουρα περιττός αριθμός. (πιθανοί υποψήφιοι 1,3,5,7,9,11,… αναζητούμε τον μικρότερο.

Περισσεύουν:
(65κ+4)- (65κ+5)/2=[2*(65κ+4)-(65κ+5)]/2=(130κ+8-65κ-5)/2= (65κ+3)/2 αυγά
(β) Από την δεύτερη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/3)(65κ+3)/2+1/3=(65κ+3)/6+1/3=(65κ+3+2)/6=(65κ+5)/6=5*(13κ+1)/6 αυγά
Αρκεί να διαιρείται το (13κ+1) με το 6 έχουμε καταλήξει προηγούμενα ότι το (13κ+1) διαιρείται με το 2, άρα αρκεί να διαιρείται και με το 3 το (13κ+1), οπότε απορρίπτουμε για «κ» τους 1 ,3,7,9.

Περισσεύουν:
(65κ+3)/2-(65κ+5)/6=[3*(65κ+3)-(65κ+5)]/6=(195κ+9-65κ-5)/6= (130κ+4)/6= 2(65κ+2)/6=
(65κ+2)/3 αυγά
(γ) Από την τρίτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν:
(1/4)*(65κ+2)/3+1/4= (65κ+2)/12+1/4=(65κ+2+3)/12=(65κ+5)/12=5(13κ+1)/12 αυγά
Ο (13κ+1) πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 12, κάτι το οποίο δεν ισχύει για κ=5, οπότε απορρίπτεται και ο 5.

Περισσεύουν:
(65κ+2)/3-(65κ+5)/12=[4*(65κ+2)-(65κ+5)]/12=(260κ+8-65κ-5)/12= (195κ+3)/12= 3*(65κ+1)/12=(65κ+1)/4 αυγά
(δ) Από την τέταρτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/5)(65κ+1)/4+1/5=(65κ+1)/20+1/5=(65κ+1+4)/20=(65κ+5)/20 αυγά

Περισσεύουν:
(65κ+1)/4-(65κ+5)/20=[5*(65κ+1)-(65κ+5)]/20=(325κ+5-65κ-5)/20= 260κ/20=13κ αυγά
Από τ’ ανωτέρω διαπιστώνουμε ότι ο «κ» ισούται με 11, η οποία είναι η μικρότερη τιμή που ικανοποίει όλες τις συνθήκες.

Αντικαθιστούμε τη τιμή του κ=11 στην (5) κι’ έχουμε:
χ=[(65*κ)+4] --> χ=[(65*11)+4] --> χ=715+4 --> χ=719 αυγά (6)

Επαλήθευση:
(1) Πρώτη Πώληση:(χ+1)/2=(719+1)/2=720/2=360 αυγά.
(2) Δεύτερη Πώληση: (χ+1)/6=(719+1)/6=720/6=120 αυγά.
(3) Τρίτη Πώληση:(χ+1)/12=(719+1)/12=720/12=60 αυγά.
(4) Τέταρτη Πώληση:(χ+1)/20=(719+1)/20=720/20=36 αυγά.
Συνολικά πούλησε:360+120+60+36=576 αυγά.
Της έμειναν απούλητα:
719-576=143 αυγά.
Τα 143 αυγά, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος τα μοίρασε εξίσου στους 13 συγγενείς, οι οποίοι πήραν από:
143:13=11 αυγά (13*κ=13*11=143) ο κάθε συγγενής.

Η λύση προτάθηκε από τον Carlo de Grandi.

Άλλοι γρίφοι